Question

（2012•重庆模拟）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC，垂足为E，与CD交于F，H是BC边的中点，F是CD边的中点，连接DH与BE交于点G，则下列结论：
①BF=AC；②CE=

1

2

BF；③S_{四边形ADGE}=S_{四边形GHCE}；④CE=BG，
其中正确的结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：推出BD=DC，证△BDF≌△CDA，推出BF=AC，证△ABE≌△CBE推出CE=AE，即可判断①②，推出△ABE的面积和△CBE的面积相等，四边形ADGE的面积＜四边形EGHC的面积，即可判断③，过F作FM垂直BC交BC于M，求出△BDC是等腰直角三角形，推出FM是△CDH的中位线，得出FM垂直平分HC，求出BG：BF=1：

3

2

=

2

3

，CE：BF=

1

2

，得出BG：CE=4：3，即可判断④．

解答：
解：∵CD⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=45°=∠ABC，
∴BD=DC，
∵∠BDC=∠CEF=90°，∠DFB=∠EFC，
∴由三角形内角和定理得：∠DBF=∠ACD，
∵在△BDF和△CDA中

∠BDF=∠CDA BD=DC ∠DBF=∠ACD

∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，∴①正确；
∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB，
∵在△ABE和△CBE中

∠ABE=∠CBE BE=BE ∠AEB=∠CEB

∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴CE=AE=

1

2

AC，
∵AC=BF，
∴CE=

1

2

BF，∴②正确；
∵BE⊥AC，CE=AE，
∴△ABE的面积和△CBE的面积相等，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，
∴FD=FM，
∴DG=FM，
从图可知，FM＞GH，
∴DG＞GH，
∴△BGD的面积大于△BHG的面积，
即四边形ADGE的面积＜四边形EGHC的面积，∴③错误；

过F作FM垂直BC交BC于M，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC，
∵F是CD的中点，FM⊥BC，
∴FM是△CDH的中位线，
∴FM垂直平分HC，
则BG：BF=1：

3

2

=

2

3

，CE：BF=

1

2

，所以BG：CE=4：3，故④错误；
故选B．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，难度偏大．