Question

如图，△ABC中，AB=AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA延长线与P，交AC于Q．
（1）判断△APQ的形状，并证明你的结论；
（2）若∠B=60°，AB=AC=2，设CD=x，四边形ABDQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析：充分利用条件，选择适当的方法证明是等腰三角形，并利用直角三角形和正三角形的特点来确定三角形的边长与面积．

解答：解：（1）△APQ为等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵P为BA延长线上一点，PD⊥BD交AC与Q点，
∴∠BDQ=∠BDP=90°．
∵∠QCD+∠DQC=90°，∠B+∠P=90°，∠ABC=∠ACB，
∴∠P=∠DQC，又∠AQP=∠DQC，
∴∠P=∠AQP，
∴AP=AQ，
∴△APQ为等腰三角形；

（2）∵∠B=60°，AB=AC=2，
∴△ABC为正三角形．
∵PD⊥BC，∠C=60°，
∴∠CQD=30°．
∴CQ=2DC=2x，
根据勾股定理 DQ=

(2x)2-x2

=

3

x，
y=

1

2

×2×2sin60°-

1

2

x•

3

x=

3

-

3

2

x²（0＜x＜1），即y=

3

-

3

2

x²（0＜x＜1）．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和综合应用解直角三角形、直角三角形性质进行逻辑推理能力和运算能力．