Question

10．如图，O为坐标原点，以A为顶点的抛物线y=-$\frac{1}{2}{（x-2）^2}$+2与x的正半轴交于点E，直线y=-2x+6经过点A，且交y轴于点B．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设直线y=-2x+6与抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x的另一个交点为C，求tan∠ACO的值；
（3）设点Q是y轴上一个动点，若以点O，C，Q为顶点的三角形与△ABO相似，请求出符合条件的所有点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标，可得A点坐标，根据函数值余自变量的关系，可得B点坐标；
（2）根据解方程组，可得C点坐标，根据平面直角坐标系的角平分线，可得∠AOE、∠COE的度数，根据勾股定理，可得OC，OA的长，根据正切函数的定义，可得答案；
（3）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$或$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$，根据等式的性质，可得答案．

解答 解：（1）A（2，2）；B（0，6）；
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+6\\ y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=6}\\{{y}_{2}=-6}\end{array}\right.$，
∴C（6，-6），
∴∠COE=45°；OC=$\sqrt{{6^2}+{6^2}}=6\sqrt{2}$．
∵A为（2，2）；
∴∠AOE=45°；
OA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
∴∠AOC=45°+45°=90°，
∴在Rt△A0C中，$tan∠ACO=\frac{OA}{OC}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{6\sqrt{2}}}=\frac{1}{3}$；
（3）设M为y轴负半轴上任一点，由（2）得，∠BOA=∠EOA=∠EOC=∠MOC=45°
当∠QOC=∠BOA=45°时，因为C在第四象限，所以Q只能在y轴负半轴，当两个三角形有两边对应成比例且夹角相等时，这两个三角形相似，有以下两种情况：
①当$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$时，△QOC∽△AOB，此时，$\frac{OQ}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{6}$，
解得OQ=4，
∴Q₁（0，-4）；
②当$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$时，△QOC∽△BOA，此时，$\frac{OQ}{6}$=$\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，
解得OQ=18，
∴Q₂（0，-18）；
综上所述，当Q为（0，-4）或（0，-18）时，△OCQ与△ABO相似．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了二次函数的性质，正切函数的定义，利用相似三角形的判定是要分类讨论，以防遗漏．