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在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,取一块含45°角的直角三角尺,将直角顶点放在斜边BC边的中点O处(如图1),绕O点顺时针方向旋转,使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB,AC分别相交于点E,F(如图2).设BE=x,CF=y.
(1)探究:在图2中,线段AE与CF之间有怎样的大小关系?试证明你的结论;
(2)若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处(如图3),绕O点顺时针方向旋转,其他条件不变.
①试写出y与x的函数解析式,以及x的取值范围;
②将三角尺绕O点旋转(如图4)的过程中,△OEF是否能成为等腰三角精英家教网形?若能,直接写出△OEF为等腰三角形时x的值;若不能,请说明理由.
分析:(1)本题可通过构建三角形,通过证全等来得出AE与CF相等的关系,连接OA,那么只要证明三角形AEO和OFC全等即可,根据ASA可得出三角形AEO和OFC全等;
(2)①本题可通过证△BEO∽△COF相似,得出关于x,y的比例关系,然后得出x,y的关系式;
②可根据①中得出的式子求x的值,注意要分三种情况进行讨论.
解答:解:(1)线段AE与CF之间有相等关系.
证明:连接AO.如图2,
∵AB=AC,点O为BC的中点,∠BAC=90°,
∴∠AOC=90°,∠EAO=∠C=45°,AO=OC.
∵∠EOF=90°,∠EOA+∠AOF=90°,∠COF+∠AOF=90°,
∴∠EOA=∠FOC.
∴△EOA≌△FOC,
∴AE=CF.
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(2)①连接AO.
如图4,∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠C=∠B=45°,
∴∠BEO+∠EOB=135°,
∵∠EOF=45°,
∴∠FOC+∠EOB=135°,
∴∠FOC=∠BEO,
∴△BEO∽△COF,
BE
OC
=
OB
CF

在Rt△ABC中,BC=
AB2+AC2
=
4+4
=2
2
,点O为BC的中点,
∴BO=OC=
2

∵BE=x,CF=y,
x
2
=
2
y
,即xy=2,
y=
2
x

取值范围是:1≤x≤2.
②△OEF能构成等腰三角形.
当F与A重合时,x=1,此时OE=EA(或OE=EF);
当E与A重合时,此时x=2,OA=OF(或EF=OF);
当E、F分别在A点的两边时,x=
2
,OE=OF,△OEF能构成等腰三角形.
点评:本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识点.
要注意的是旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.
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