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20.在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆O,P是BC边上一动点(不与B、c重合),过点P作半圆O的切线,与过A点的垂线交于点Q.AC与PQ,OQ分别交于点E,F,如果P,C,F三点构成的三角形与△AEO相似,那么∠CPF的度数是90°或60°.

分析 解根据等腰直角三角形的性质得到∠C=∠BAC=45°,①当∠CPF=∠AEO时,如图1,得到∠AQG=∠AEO,根据切线的性质得到∠AQE=$\frac{1}{2}∠$AQE,等量代换得到∠AQE=$\frac{1}{2}$∠AEO,求得∠QAE=$\frac{1}{2}∠$AEO,得到结论;②当∠CPF=∠AOE时,如图2,根据平行线的性质得到∠AQP+∠BPQ=180°,根据切线的性质得到∠OQP+∠OPQ=$\frac{1}{2}$(∠AQP+∠BPQ)=90°,等量代换得到∠OPQ=∠AOQ=∠OBP,于是得到结论.

解答 解:∵∠ABC=90°,AQ⊥AB,AB为半圆O的直径,
∴AQ与BC是半圆O的切线,
∴AQ∥BC,
∵在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠C=∠BAC=45°,
∵P,C,F三点构成的三角形与△AEO相似,
∴①当∠CPF=∠AEO时,如图1,
∴∠AQG=∠AEO,
∵AQ,GQ是半圆O的切线,
∴∠AQE=$\frac{1}{2}∠$AQE,
∴∠AQE=$\frac{1}{2}$∠AEO,
∵∠AEO=∠AQE+∠QAE,
∴∠QAE=$\frac{1}{2}∠$AEO,
∵∠QAE=45°,
∴∠AEO=90°,
∴∠CPF=90°;
②当∠CPF=∠AOE时,如图2,
∵AQ∥BC,
∴∠AQP+∠BPQ=180°,
∵PQ,AQ,BP是半圆O的切线,
∴∠OQP+∠OPQ=$\frac{1}{2}$(∠AQP+∠BPQ)=90°,
∴∠OPQ=∠AOQ=∠OBP,
∴∠CPF=∠FPO=∠BPO=60°.
综上所述:如果P,C,F三点构成的三角形与△AEO相似,那么∠CPF的度数是90°或60°,
故答案为:90°或60°.

点评 本题考查了相似三角形的判定,等腰直角三角形的性质,切线的性质,熟练掌握切线的性质是解题的关键.

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