如图,已知在平面直角坐标系中,四边形ABCO是梯形,且BC∥AO,其中A(6,0),B(3,),∠AOC=60°,动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动,动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动,当点P到达A点时,点Q也随之停止,设点P,Q运动的时间为t(秒).
(1)求点C的坐标及梯形ABCO的面积;
(2)当点Q在CO边上运动时,求△OPQ的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)以O,P,Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.
(1) (2)() (3)当t=1或t=2时,△OPQ为直角三角形
解析试题分析:(1)作CM⊥OA于点M,知CM,由∠AOC=60°易求BM=1,求出C点坐标;由B点坐标可求BC的长,从而梯形面积可求;
(2)用含有t的代数式分别表示△OPQ的高和底,求出△OPQ的的面积即可表示出S与运动时间t的函数关系式;
(3)分点Q分别在边BC、OC、OA上运动时进行讨论,即可求出t的值.
试题解析:(1)作CM⊥OA于点M,
∵∠AOC=60°,∴∠OCM=30°,
∵B(3,),BC∥AO,∴CM,
设OM=,则OC=,∴
解得,∴OM=1,OC=2,
∴C(1,),
∵B(3,),∴BC=2,
∵A(6,0),∴OA=6,
∴,
(2)如图1,当动点Q运动到OC边时,OQ=,
作QG⊥OP,∴∠OQG=30°,
∴,∴,
又∵OP=2t,
∴
();
(3)根据题意得出:,
当时,Q在BC边上运动,延长BC交y轴于点D,
此时OP=2t,,,
∵∠POQ<∠POC=60°,
∴若△OPQ为直角三角形,只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°,
若∠OPQ=90°,如图2,则∠PQD=90°,
∴四边形PQDO为矩形,
∴OP=QD,∴2t=3-t,
解得t=1,
若∠OQP=90°,如图3,则OQ2+PQ2=PO2,
即,
解得:t1=t2=2,
当时,Q在OC边上运动,
若∠OQP=90°,
∵∠POQ=60°,∴∠OPQ=30°,
∴,
若∠OPQ=90°,同理:,
而此时OP=2t>4,OQ<OC=2,
∴,,
故当Q在OC边上运动时,△OPQ不可能为直角三角形,
综上所述,当t=1或t=2时,△OPQ为直角三角形。
考点: 1.二次函数;2.直角三角形的判定.
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如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①AE=EF是否总成立?请给出证明;
②在如图2的直角坐标系中,当点E滑动到某处时,点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上,求此时点F的坐标.
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如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标;
(3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.
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某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;如果每件商品的售价每上涨1元.则每个月少卖10件。设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1) 求y与x的函数关系式
(2) 每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3) 若每个月的利润不低于2160元,售价应在什么范围?
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如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm,OB=6cm,点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动:点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(),那么:
(1)设△POQ的面积为,求关于的函数解析式。
(2)当△POQ的面积最大时,△ POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ,试判断点C是否落在直线AB上,并说明理由。
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如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左则,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,―3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点。
⑴求这个二次函数的表达式;
⑵连结PO、PC,在同一平面内把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
⑶当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大,并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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某跳水运动员进行10m跳台跳水的训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为己知条件).在跳某个规定动作时,正确情况下,该运动员在空中的最高处距水面m,入水处与池边的距离为4m, 同时,运动员在距水面高度为5m以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.
(l)求这条抛物线的解析式;
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为,问:此次跳水会不会失误?通过计算说明理由.
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如图,抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若动点P从点A出发,以每秒2个单位沿射线AC方向运动;同时,点Q从点B出发,以每秒1个单位沿射线BA方向运动,当点P到达点C处时,两点同时停止运动.问当t为何值时,△APQ∽△AOB?
(3)若M为线段AB上一个动点,过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N.
①是否存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M运动到何处时,四边形CBNA的面积最大?求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值.
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