精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2006•襄阳)已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如图所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求点B关于x轴对称的点D的坐标;
(2)求经过三点A、B、O的二次函数的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使四边形PABO为梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据圆的圆周角的性质可求得△AOB是等边三角形,根据等边三角形的性质即可求得点B的坐标,再根据点B关于x轴的对称点的特点求得点D的坐标;
(2)可设得二次函数的一般式,将点A、O、B的坐标代入函数解析式,解方程组即可求得函数的解析式;
(3)∵△BOA是等边三角形,点D是点B关于x轴的对称点
∴OA、BD相互垂直平分∴四边形DABO是菱形
∴AD∥BO∴所求点P必在直线AD上
设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠O),利用待定系数法求解即可.
解答:解:(1)如图:∵点A、B、C、D在⊙O上,且∠ACO=∠ACB=60°,
∴∠BOA=∠ABO=60°,
∴△ABO是等边三角形,
∵OA=2,
过点B作BD⊥OA于点D,
∴OD=OA-1,BD=OB•sin60°=
∴B(1,),
∴点B关于x轴对称的点D的坐标为(1,-);

(2)设经过A(2,0)、B(1,)、O(0,0)的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),


∴y=-+2

(3)存在点P,使四边形PABO为梯形,
∵△BOA是等边三角形,
点D是点B关于x轴的对称点,
∴OA、BD相互垂直平分,
∴四边形DABO是菱形,
∴AD∥BO,
∴所求点P必在直线AD上,
设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠O),


∴y=
联立
解得
时,就是点A(2,0);
时,
即为所求点P(-1,-3),
过点P作PG⊥x轴于G,则|PG|=3
∴PA=6而BO=2,
在四边形PABO中,BO∥AP且BO≠AP,
∴四边形PABO不是平行四边形,
∴OP与AB不平行,
∴四边形PABO为梯形,
同理,在抛物线上可求得另一点P(3,-3),也能使四边形PABO为梯形.
故存在点P(-1,-3),或P(3,-3),使四边形PABO为梯形.
点评:此题考查了二次函数与园的知识的综合应用,解题时要注意待定系数法的应用,还要注意数形结合思想的应用.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2006年全国中考数学试题汇编《二次函数》(07)(解析版) 题型:解答题

(2006•襄阳)已知:AC是⊙O的直径,点A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如图所示的直角坐标系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求点B关于x轴对称的点D的坐标;
(2)求经过三点A、B、O的二次函数的解析式;
(3)该抛物线上是否存在点P,使四边形PABO为梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2006年全国中考数学试题汇编《一元二次方程》(05)(解析版) 题型:解答题

(2006•襄阳)已知x1、x2是方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根.是否存在常数k,使成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2006年湖北省襄樊市中考数学试卷(大纲卷)(解析版) 题型:解答题

(2006•襄阳)已知:AB是⊙O的直径,点C是⊙O外的一点,点E是AC上一点,AB=2.
(1)如图1,点D是BC的中点,当DE也AC满足什么关系时,DE是⊙O的切线?请说明理由.
(2)如图2,AC是⊙O的切线,点E是AC的中点DE∥AB.①求的值;②求阴影部分的面积.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2006年湖北省襄樊市中考数学试卷(大纲卷)(解析版) 题型:选择题

(2006•襄阳)已知:如图,AB∥CD,∠1=50°,那么∠2等于( )

A.40°
B.50°
C.130°
D.150°

查看答案和解析>>

同步练习册答案