Question

把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm²，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．

Answer 1

（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．
则（40-2x）²=484，
即40-2x=±22，
解得x₁=31（不合题意，舍去），x₂=9，
∴剪掉的正方形的边长为9cm．
②侧面积有最大值．
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与a的函数关系为：y=4（40-2a）a，
即y=-8a²+160a，
即y=-8（a-10）²+800，
∴a=10时，y_最大=800．
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm²．

（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的高为xcm．
2（40-2x）（20-x）+2x（20-x）+2x（40-2x）=550，
解得：x₁=-35（不合题意，舍去），x₂=15．
∴剪掉的长方形盒子的高为15cm．
40-2×15=10（cm），
20-15=5（cm），
此时长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm．