Question

（2009•宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时OA′、B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OA′B′C′的形状是______，当α=90°时，的值是______；
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断当α=90°时，就是长与宽的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算．
（3）构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得PC的长，进一步求得坐标．
解答：解：（1）图1，四边形OA′B′C′的形状是矩形；根据题意即是矩形的长与宽的比，即．

（2）①图2∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴，即，
∴CP=，BP=BC-CP=．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴=，即，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴==；
②图3，在△OCP和△B′A′P中，
，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．设B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=．
∴S_△OPB′=．

（3）存在这样的点P和点Q，使BP=BQ．
点P的坐标是P₁（-9-，6），P₂（-，6）．
【对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求】
过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=PQ•OC，S_△POQ=OP•QH，∴PQ=OP．
设BP=x，∵BP=BQ，∴BQ=2x，
如图4，当点P在点B左侧时，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得，（不符实际，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+，
∴P₁（-9-，6）．
如图5，当点P在点B右侧时，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，解得x=．
∴PC=BC-BP=，
∴P₂（-，6），
综上可知，存在点P₁（-9-，6），P₂（-，6），使BP=BQ．
点评：特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．