Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=8，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE，由勾股定理求出BD，得出OD，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵四边形BEDF为菱形，
∴BE=DEDB⊥EF，
又∵AB=12，BC=8，
设BE=DE=x，则AE=12-x，
在Rt△ADE中，82+（12-x）2=x2,
∴x＝.
又BD＝，
∴DO＝BD＝2，
∴OE＝＝.
∴EF=2OE=．