Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为斜边向外作等腰Rt△ACD，连接BD．
（1）AB=BC=2，求BD的长；
（2）若AB+BC=4，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=45°，∠DAC=∠DCA=45°，进而求得∠BAD=∠BCD=90°，即可证得四边形ABCD是正方形，根据勾股定理求得即可．
（2）过D作DF⊥BC，过A作AM⊥DF，推出四边形ABFM为矩形，得出AM=BF，AB=MF，根据等腰直角三角形的性质得出∠ADC=90°，DA=DC，求出∠CDF=∠DAM，根据AAS证△ADM≌△DCF，推出AM=DF，DM=FC，求出△BDF是等腰直角三角形，根据题意求得BF=DF=2，根据勾股定理求出BD．

解答 解（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵在等腰Rt△ACD，∠DAC=∠DCA=45°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BD=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（2）过D作DF⊥BC于F，过A作AM⊥DF于M，
∵∠ABC=90°，
∴∠AMD=∠DFB=90°，∠ABC=∠BFM=∠AMF=90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴AM=BF，AB=MF，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∴∠ADM+∠CDF=90°，
又∵∠AMD=90°，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠CDF=∠DAM，
在△ADM和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠CDF}\\{∠AMD=∠DFC}\\{OA=OC}\end{array}\right.$
∴△ADM≌△DCF（AAS），
∴AM=DF，DM=FC，
∴DF=BF，
∵∠BFD=90°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∵DF+BF=DM+MF+BC-FC=AB+BC=4，
∴DF=BF=2，
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．