Question

【题目】如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．

(1)求证：∠ACB+∠BOC＝90°；

(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长度．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)BC＝6．

【解析】

(1)根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ABO＝∠BAO，∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，即可得出答案；

(2)求出△BOC≌△DOC，根据全等三角形的性质得出BC＝CD，根据勾股定理求出CD即可．

(1)证明：∵圆弧AB对的圆周角是∠ACB，对的圆心角是∠AOB，

∴∠AOB＝2∠ACB，

∵OB＝OA，

∴∠ABO＝∠BAO，

∵AB∥OC，

∴∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°，

∴∠BAO+∠AOB+∠BOC＝180°，

即2∠ACB+2∠BOC＝180°，

∴∠ACB+∠BOC＝90°；

(2)延长AO交⊙O于D，连接CD，

则∠ACD＝90°，

由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝6，

∵OC∥AB，

∴∠BOC＝∠ABO，∠COD＝∠BAO，

∵∠BAO＝∠ABO，

∴∠BOC＝∠COD，

在△BOC和△DOC中

∴△BOC≌△DOC(SAS)，

∴BC＝CD，

∵CD＝6，

∴BC＝6．