Question

已知，在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，CD为高，若

AD

DB

=

AC2

BC2

，则△ABC为（　　）

• A、直角三角形
• B、等腰三角形
• C、等腰直角三角形
• D、直角三角形或等腰三角形

Answer 1

分析：由于CD是边AB的高，根据勾股定理将AC、BC代换，然后转换题中的等式．

解答：解：∵AC²=AD²+CD²，BC²=BD²+CD²，
代入等式

AD

DB

=

AC2

BC2

然后转换为AD（BD²+CD²）=BD（AD²+CD²）
∴AD×BD²+AD×CD²=BD×AD²+BD×CD²，
AD×BD²+AD×CD²-BD×AD²-BD×CD²=0
∴AD×BD（BD-AD）-CD²（BD-AD）=0
∴（AD×BD-CD²）（BD-AD）=0
（1）当AD×BD-CD²=0时，

AD

CD

=

CD

BD

，由于CD⊥AB，所以∠CAD与∠CBD互余，所以△ABC可为直角三角形；
（2）当BD-AD=0时，AD=BD，并且CD⊥AB，所以△ABC可为等腰三角形．
故选D．

点评：本题难点在于用勾股定理将AC和BC替换，然后根据等式化简得出两种情况，根据三角形的性质判断为何种三角形．