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精英家教网已知:如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于E,
BC
=
BD
,⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
(1)求证:CD∥BF.
(2)连接BC,若⊙O的半径为4,cos∠BCD=
3
4
,求线段AD、CD的长.
分析:(1)根据
BC
=
BD
,运用垂径定理的推论得到AB⊥CD;根据切线的性质定理得到AB⊥BE,从而证明平行;
(2)根据圆周角定理得到∠A=∠C.根据直径所对的圆周角是直角,得到直角△ABD.再结合锐角三角函数的概念求解.
解答:精英家教网(1)证明:∵直径AB平分
CD

∴AB⊥CD.
∵BF与⊙O相切,AB是⊙O的直径,
∴AB⊥BF.
∴CD∥BF.

(2)解:连接BD,BC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
在Rt△ADB中,
∵cos∠BAF=cos∠BCD=
3
4
,AB=4×2=8.
∴AD=AB•cos∠BAF=8×
3
4
=6.
∵AB⊥CD于E,
在Rt△AED中,cos∠BAF=cos∠BCD=
3
4
,sin∠BAF=
7
4

∴DE=AD•sin∠BAF=6×
7
4
=
3
2
7

∵直径AB平分
CD

∴CD=2DE=3
7
点评:熟练运用垂径定理的推论、切线的性质定理、圆周角定理及其推论.能够利用锐角三角函数的知识解直角三角形.
练习册系列答案
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已知:如图,从地面上的点P测得大楼的某扇窗户A的仰角为37°,再从点P测得该大楼窗户A正上方的另一扇精英家教网窗户B,这时PA平分∠BPC.若点P到大楼的水平距离PC为10米.
(1)求∠BPC的度数;
(2)试求窗户B到地面的竖直高度BC(精确到0.1米).

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•南通一模)已知:如图,直y=2x+b交x轴于点B,交y轴于点C,点A为x轴正半轴上一点,AO=CO,△ABC的面积为12.
(1)求b的值;
(2)若点P是线段AB中垂线上的点,是否存在这样的点P,使△PBC成为直角三角形?若存在,试直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)点Q为线段AB上一个动点(点Q与点A、B不重合),QE∥AC,交BC于点E,以QE为边,在点B的异侧作正方形QEFG.设AQ=m,△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S,试求S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.

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已知,如图1,在平面直角坐标系内,直线l1:y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B,与直线l2y=
13
x
相交于点C.
(1)求点C的坐标;
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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(1)求b的值;
(2)若点P是线段AB中垂线上的点,是否存在这样的点P,使△PBC成为直角三角形?若存在,试直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)点Q为线段AB上一个动点(点Q与点A、B不重合),QE∥AC,交BC于点E,以QE为边,在点B的异侧作正方形QEFG.设AQ=m,△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S,试求S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.

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科目:初中数学 来源:2013年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷(解析版) 题型:解答题

已知:如图,直y=2x+b交x轴于点B,交y轴于点C,点A为x轴正半轴上一点,AO=CO,△ABC的面积为12.
(1)求b的值;
(2)若点P是线段AB中垂线上的点,是否存在这样的点P,使△PBC成为直角三角形?若存在,试直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)点Q为线段AB上一个动点(点Q与点A、B不重合),QE∥AC,交BC于点E,以QE为边,在点B的异侧作正方形QEFG.设AQ=m,△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S,试求S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.

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