分析 (1)把A(2,0),B(8,6)代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c得到关于b、c的方程组,然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式;
(2)先把(1)中的解析式配成顶点式即可得到顶点坐标,然后利用抛物线对称性确定D点坐标;
(3)先利用待定系数法求出直线BC的解析式,再利用解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$得E点坐标,然后利用S△BDE=S△BDC+S△EDC进行计算即可.
解答 解:(1)把A(2,0),B(8,6)代入y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×4+2b+c=0}\\{\frac{1}{2}×64+8b+c=6}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$,
所以二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-4x+6;
(2)y=$\frac{1}{2}$x2-4x+6=$\frac{1}{2}$(x-4)2-2,
所以二次函数图象的顶点坐标为(4,-2),
由于抛物线的对称轴为直线x=4,而A(2,0),
所以D点坐标为(6,0);
(3)C(4,0),
设直线BC的解析式为y=mx+n,
把B(8,6),C(4,0)代入得$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=6}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=-6}\end{array}\right.$,
所以直线BC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-6,
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=6}\end{array}\right.$,
所以E点坐标为(3,-$\frac{3}{2}$),
所以S△BDE=S△BDC+S△EDC=$\frac{1}{2}$×(6-4)×6+$\frac{1}{2}$×(6-4)×$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$.
点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质和三角形面积公式.
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