Question

3．已知：∠BAC＞90°，∠ACB=30°，AB=DB=DC，求∠CAD的度数．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AC，交CA的延长线于E，过点D作DF⊥BC于F，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BE=$\frac{1}{2}$BC，根据等腰三角形的性质可得BF=CF=$\frac{1}{2}$BC，进而可证到Rt△AEB≌Rt△DFB（HL），则有∠EBA=∠FBD．设∠FBD=α，∠ABD=β，则有∠EBA=α，在Rt△BEC中根据三角形内角和定理可得α+$\frac{1}{2}$β=30°．由BA=BD可得∠BAD=∠BDA=90°-$\frac{β}{2}$，然后在Rt△ABC中运用三角形内角和定理就可求出∠CAD．

解答 解：过点B作BE⊥AC，交CA的延长线于E，过点D作DF⊥BC于F，如图．

∵BE⊥AC，∠ACB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC．
∵DB=DC，DF⊥BC，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BE=BF．
在Rt△AEB和Rt△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BD}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEB≌Rt△DFB（HL），
∴∠EBA=∠FBD．
设∠FBD=α，∠ABD=β，
则有∠EBA=α，
∴在Rt△BEC中，2α+β+30°=90°，
∴α+$\frac{1}{2}$β=30°．
∵BA=BD，
∴$∠BAD=∠BDA=\frac{18{0}^{0}-β}{2}$=90°-$\frac{β}{2}$，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴90°-$\frac{β}{2}$+∠CAD+β+α+30°=180°，
∴∠CAD=60°-（$α+\frac{β}{2}$）=60°-30°=30°．

点评 本题主要考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，有一定的难度，运用整体思想求出α+$\frac{1}{2}$β是解决本题的关键．