Question

【题目】如图,正△ABC中,点P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合),且∠APD= 60° ,PD交边AB于点D. 设BP= x ,BD= y ,右图为y关于x的函数大致图象，下列判断中正确的是（ ）

①正△ABC中边长为4；②图象的函数表达式是 ， 其中 0＜x＜4；③ m=1

A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③

Answer 1

【答案】D

【解析】

设正△ABC边长为a，根据等边三角形性质可知∠B=∠C=60°，由三角形内角和定理和平角性质得∠CAP+∠APC=120°，∠BPD+∠APC=120°，等量代换可得∠CAP=∠BPD，根据相似三角形判定和性质得CA：BP=CP：BD，代入数值可得y关于x的函数解析式为：；由二次函数性质和图像可得x==2，从而可得a值，即正△ABC边长为4，故①正确；将a值代入可得y关于x的函数解析式为，故②错误；将二次函数解析式配方得，从而可得

m=1，故③正确.

解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠APD=60°，

∴∠CAP+∠APC=120°，∠BPD+∠APC=120°，

∴∠CAP=∠BPD，

∴△CAP∽△BPD，

∴CA：BP=CP：BD，

设正△ABC边长为a，

∴CA=CB=a，CP=CB-BP=a-x，

∵ BP= x ，BD= y ，

∴a：x=（a-x）：y，

即，

∴ y关于x的函数解析式为：，

∵抛物线对称轴为：x==2，

∴a=4，

∴正△ABC边长为4，

故①正确；

∴y关于x的函数解析式为：，

故②错误；

∵，

∴m=1，

故③正确；

综上所述：正确的有①③.

故答案为：D.