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(2009•龙岩质检)如图,矩形ABCD中,AB=20cm、BC=30cm,在距边12cm、距C点20cm的点O处有一钉子.动P、Q同时从点A出发,点P沿A→B→C方向以5cm/s的速度运动,到点C停止运动;点Q沿A→D方向以3cm/s的速度运动,到点D停止运动.P、Q两点用一条可伸缩的橡皮筋连接,设两动点运动t(s)后橡皮筋扫过的面积为y(cm2).
(1)当t=4时,求y的值;
(2)问:t为何值时,橡皮筋刚好接触钉子(即P、O、Q三点在同一直线上);
(3)当4<t≤10时,求y与t之间的函数关系式.
分析:(1)当t=4时,根据运动速度可知道此时扫过的面积是三角形,从而求出解.
(2)橡皮筋刚好接触钉子即P、O、Q三点在同一直线上,根据在距边12cm、距C点20cm的点O处有一钉子,用勾股定理可求出解.
(3)分两种情况,以P,O,Q在一条直线上为分界线,根据得到图形求出面积.
解答:解:(1)当t=4时,AP=5t=4×5=20(cm).
AQ=3t=3×4=12(cm).
∴y=
1
2
AP•AQ=
1
2
×20×12=120(cm2).

(2)延长EO交AD于F.
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC∥AD,
又∵AB∥EF,∠B=90°.
∴四边形ABEF是矩形,
∴EF=AB=20cm,
∵OE=12cm,
∴OF=20-12=8(cm).
在Rt△EOC中,EC=
DC2-OE2
=
202-122
=16(cm).
∴BE=30-16=14(cm).
∴当PQ刚好接触点O时,PE=34-5t,FQ=3t-14,
由△PEO∽△QFO,得
PE
FQ
=
EO
FO

即,
34-5
3t-14
=
12
8

t=
110
19
(s).

(3)分两种情况:
①当4<t≤
110
19

y=S△AOB+S△BOP+S△AOQ=
1
2
×20×(3t+5t-20)=80t-200;
②当
110
19
<t≤10时,
y=S梯形AGOQ+S梯形OGBP
=
1
2
AG(OG+AQ)+
1
2
BG•(GO+BP)
=
1
2
×8×(14+3t)+
1
2
×12×(14+5t-20)
=42t+20.
点评:本题考查了矩形的判定和性质,勾股定理,梯形面积的计算,以及相似三角形的判定和性质.
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