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(2004•无锡)已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y=x2-(b+10)x+c.
(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式;
(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y=-2x+b的解析式.
【答案】分析:(1)先表示出B、P的坐标,然后将B代入抛物线的解析式中,将P代入直线的解析式中,联立两式可求出b、c的值,即可确定抛物线的解析式;
(2)可根据直线AB的解析式表示出A、B的坐标,即可求出OA、OB的长,由于∠ABC=90°,在直角三角形ABC中,可用射影定理求出OC的长,然后联立抛物线的对称轴方程即可求出b的值.也就求出了直线AB的解析式.
解答:解:(1)直线y=-2x+b与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴点A坐标为(,0),点B坐标(0,b),
由题意知,抛物线顶点P坐标为(),
∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上,且过点B,
解得b1=-10,c1=-10,b2=-6,c2=-6,
∴抛物线解析式为y=x2-10或y=x2-4x-6;

(2)∵点A坐标(,0),点B坐标(0,b),
∴OA=||,OB=|b|,
又∵OA⊥OB,AB⊥BC,
∴△OAB∽△OBC
=
∴OB2=OA•OC,
即b2=OC•||,
∴OC=
∵抛物线y=x2-(b+10)x+c的对称轴为x=且抛物线对称轴过点C,
∴||=
(i)当b≤-10时,-=-2b,
∴b=(舍去)
经检验,b=不合题意,舍去.
(ii)当-10≤b<0时,=-2b,
∴b=-2,
(iii)当b>0时,=2b,
∴b=
此时抛物线对称轴直线为x=-=>0,
BC与x轴的交点在x轴负半轴,
故不符合题意,舍去.
∴直线的解析式为y=-2x-2.
点评:本题考查了一次函数、二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识,要注意(2)中,在b的取值范围不确定的情况下,要分类讨论,以免漏解.
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