Question

15．把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　）

• A． $6\sqrt{2}$
• B． 6
• C． $3\sqrt{2}$
• D． $3+3\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．

解答 解：连接BC′，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，
∴B在对角线AC′上，
∵B′C′=AB′=3，
在Rt△AB′C′中，AC′=$\sqrt{A′B{′}^{2}+B′C{′}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴BC′=3$\sqrt{2}$-3，
在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3$\sqrt{2}$-3，
在直角三角形OBC′中，OC′=$\sqrt{2}$（3$\sqrt{2}$-3）=6-3$\sqrt{2}$，
∴OD′=3-OC′=3$\sqrt{2}$-3，
∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3$\sqrt{2}$-3+3$\sqrt{2}$-3=6$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．