Question

【题目】如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD.

（1）求证：∠EMF＝90°．

（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．

（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥EM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠N＝75°；（3）无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．证明见解析.

【解析】

（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线定义进行判断即可；

（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，根据∠MFE＝∠MFD列出方程，求出x即可得到∠N的度数；

（3）先根据题意得到∠GFQ＝90°﹣∠FGQ，再根据FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD＝2∠GFQ，最后根据∠EHF+∠HFD＝180°，即可得出∠EHF＝2∠FGQ．

（1）如图1中，∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE＝180°，

∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，

∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，

∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，

∴∠EMF＝90°；

（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，

∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，

∴∠EFM＝90°﹣4x，

∴∠NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，

∵∠MFE＝2∠MFD，

∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），

∴x＝15°，

∴∠MFN＝15°，

∴∠N＝90°﹣15°＝75°；

（3）如图3，∵GQ⊥FM，

∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．

∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．

∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，

又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，

∴∠HFD＝2∠GFQ．

又∵AB∥CD，

∴∠EHF+∠HFD＝180°，

∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，

即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．