Question

如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数的图象在第一象限内的交点，且S_△AOB=3．
（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．
（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图象的另一支交于D点，过D点作DE⊥x轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？
（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据S_△AOB=3可以求出反比例函数的解析式，求出m的值，则一次函数的解析式也相应求出；
（2）根据函数的解析式，就可以通过解方程组求出函数的交点坐标．进而得到两个三角形的面积；
（3）根据A、D的坐标，可以求出AO、DO的长，就可以判断三角形的形状．
解答：解：（1）设B（x，0），则，其中x＞0，m＞0，
在Rt△ABO中，，
则，即m=6，
∴一次函数的解析式为y=x+6，
∴反比例函数的解析式为；

（2）由得x²+6x-6=0，
解得：，
∴，
由反比例函数的定义可知，对反比例函数图象上任意一点P（x，y），有，即xy=6，
∴S_△DEO=×OE×DE=×6=3，
即S_△DEO=S_△AOB；

（3）由，
可得，
即AO=DO，
∵∠AOD＞90°，
∴△AOD为钝角等腰三角形．
点评：通过反比例函数图象上的点，作x轴的垂线，垂线，x轴上的点与原点的连线构成的三角形，与反比例函数的解析式的关系．是本题的考查的一个重点．