Question

如图（1），分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上）交y轴于另一点Q，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，B点坐标为（2，2）．
（1）求抛物线的函数解析式和点E的坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）如图（2），点R从正方形CDEF的顶点E出发以1个单位/秒的速度向点F运动，同时点S从点Q出发沿y轴以5个单位/秒的速度向上运动，连接RS，设运动时间为t秒（0＜t＜1），在运动过程中，正方形CDEF在直线RS下方部分的面积是否变化？若不变，说明理由并求出其值；若变化，请说明理由；

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点B的坐标以及正方形的性质求出点A、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；根据垂径定理可得圆心P为AB的垂直平分线与x轴的交点，连接PE、PA，根据勾股定理表示出PA²，设正方形CDEF的边长为a，表示出PF，然后在Rt△PEF中，利用勾股定理列式进行计算即可求出a的值，然后求出OF，即可得到点E的坐标；
（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点G的坐标，然后得到点M的坐标，再求出FM、PM，然后利用勾股定理逆定理判定PE⊥EM，再根据切线的定义得证；
（3）表示出点S、R的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线SR的解析式，再求出SR与CD的交点坐标，然后根据梯形的面积公式列式进行计算即可求出正方形CDEF在直线RS下方部分的面积为定值．
解答：（1）解：B点坐标为（2，2），四边形OABC是正方形，
∴点A（0，2），C（2，0），
∵抛物线y=x²+bx+c经过点A、C，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x²-x+2；
根据垂径定理，AB的垂直平分线与x轴的交点为圆心P，即P（1，0），
如图，连接PE、PA，则PE²=PA²=OA²+OP²=2²+1²=5，
设正方形CDEF的边长为a，
则PF=a+1，
在Rt△PEF中，PE²=PF²+EF²，
即5=（a+1）²+a²，
整理得，a²+a-2=0，
解得a₁=1，a₂=-2（舍去），
∴OF=OC+CF=2+1=3，
∴点E的坐标为（3，1）；

（2）证明：令y=0，则x²-x+2=0，
整理得，x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴点G的坐标为（4，0），
∴点M是FG的中点，
∴点M（3.5，0），
∴FM=3.5-3=0.5，
PM=3.5-1=2.5，
在Rt△EFM中，EM²=EF²+FM²=1²+0.5²=，
∴PE²+EM²=5+=，
∵PM²=2.5²=，
∴PE²+EM²=PM²，
∴△PEM是直角三角形，且PE⊥EM，
∴ME是⊙P的切线；

（3）解：不变，面积为．
理由如下：∵圆心P在x轴上，点A的坐标为（0，2），
∴点Q的坐标为（0，-2），
∵点R的速度为1个单位/秒，点S的速度为5个单位/秒，
∴点R（3，1-t），S（0，5t-2），
设直线RS的解析式为y=mx+n，
则，
解得，
所以，直线RS的解析式为y=（-2t+1）x+5t-2，
当x=2时，y=（-2t+1）×2+5t-2=-4t+2+5t-2=t，
又∵RF=1-t，
∴正方形CDEF在直线RS下方部分的面积=[t+（1-t）]×1=，与t无关，是定值，
即正方形CDEF在直线RS下方部分的面积不变，为．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了正方形的性质，待定系数法求函数解析（包括二次函数解析式，一次函数解析式），勾股定理的应用，圆的切线的判定，（3）的求解较为巧妙，利用直线RS的解析式确定与CD的交点是解题的关键．