Question

【题目】如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2关联．

（1）已知抛物线C1：y＝﹣2x2+4x+3与C2：y＝2x2+4x﹣1，请判断抛物线C1与抛物线C2是否关联，并说明理由．

（2）抛物线C1：，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联，求抛物线C2的解析式．

（3）点A为抛物线C1：的顶点，点B为抛物线C1关联的抛物线的顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角三角形ABC，使其直角顶点C在直线x＝﹣10上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线C1与抛物线C2相互关联；理由见解析；（2）或；（3）不存在以AB为斜边的等腰直角三角形ABC，使其直角顶点C在直线x＝﹣10上，理由见解析.

【解析】

（1）C顶点坐标M（1，5），当x＝1时，y＝2x2＋4x1＝5，故抛物线C1顶点在C2的抛物线上，同理可得抛物线C2顶点在C1的抛物线上，即可求解；

（2）求出C2顶点坐标为（9＋2t，2），将该顶点坐标代入C1的函数表达式得：2＝（9＋2t＋9）2＋6，求解即可得C2顶点坐标，易得解析式；

（3）设点C（10，n），点B（1，2）或（17，2），点A（9，6），以AB为斜边的等腰直角三角形ABC，则AC2＝BC2且AC2＋BC2＝AB2，即可求解．

（1）∵抛物线C1：y＝﹣2(x-1)2+5，

∴C顶点坐标M（1，5），

当x＝1时，y＝2x2+4x﹣1＝5，故抛物线C1顶点在C2的抛物线上；

同理可得：C：顶点坐标M（﹣1，﹣3），抛物线C2顶点在C1的抛物线上，

故抛物线C1与抛物线C2关联；

（2）∵抛物线C1顶点坐标为：（﹣9，6），点P的坐标为（t，2），

由中点公式得：C2顶点坐标为（9+2t，﹣2），

将该顶点坐标代入C1的函数表达式得：﹣2＝﹣（9+2t+9）2+6，

解得：t＝﹣5或﹣13，

故C2顶点坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣17，﹣2），

故函数C2的表达式为：或；

（3）不存在，理由：

设点C（﹣10，n），点B（﹣1，﹣2）或（﹣17，﹣2），点A（﹣9，6），

以AB为斜边的等腰直角三角形ABC，则AC2＝BC2且AC2+BC2＝AB2，

①当点B（﹣1，﹣2）时，

AB2＝128，AC2＝1+（n﹣6）2，BC2＝81+（n+2）2，

故1+（n﹣6）2＝81+（n+2）2，解得：n＝－3，

∵128＝1+（n﹣6）2+81+（n+2）2，将n＝－3代入上式，等式不成立，

故无解；

②当点B（﹣17，﹣2），

则AB2＝128，AC2＝1+（n﹣6）2，BC2＝49+n+2）2，

同理可得：无解；

故：不存在以AB为斜边的等腰直角三角形ABC，使其直角顶点C在直线x＝﹣10上．