【题目】如图,矩形ABCD中,AB=nAD,点E,F分别在边AB,AD上且不与顶点A,B,D重合,∠AEF=∠BCE,圈O过A,E,F三点.
(1)求证:圈O与CE相切与点E;
(2)如图1,若AF=2FD且∠AEF=30°,求n的值;
(3)如图2.若EF=EC且圈O与边CD相切,求n的值.
【答案】
(1)证明:在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,
∴圆心O是EF的中点;
∵∠AEF=∠BCE,∠BEC+∠BCE=90°,
∴∠BEC+∠AEF=90°,
即∠FEC=90°,
∴圆O与CE相切与点E
(2)解:如图1,设FD=x,AF=2x;
则BC=3x;
∵∠AEF=30°,
∴AE=AFtan 30°=2 x,
∵∠BCE=30°,
∴BE=BCtan30°= x,
∴AB=3 x,
∴n= =
(3)解:设切点为G,连OG并延长交AE于点H;
在△AEF与△BCE中,
∴△AEF≌△BCE(AAS)
设BC=AE=y,
则BE=AF=(n﹣1)y,
HE= AE= y
∴由切线的性质可知:OG=OE=OF,
∴由中位线的性质可知:OH= AF=
∴OE=OG=y﹣ y= y,
∴Rt△OHE中,由勾股定理可知:
( )2=( )2+( )2,
解得:n=
【解析】(1)只需要证明∠FEC=90°即可,由于∠AEF=∠BCE,∠BEC+∠BCE=90°,所以∠BEC+∠AEF=90°,(2)设FD=x,AF=2x,所以BC=3x,根据特殊角的锐角三角函数值即可求出BE、AB的长度,从而可求出n的值.(3)设切点为G,连OG并延长交AE于点H;,先证明△AEF≌△BCE,然后根据AB=nAD,可设BC=y,然后用y表示OH、OE,HE的长度,根据勾股定理即可求出n的值.
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【题目】计算
(1)()×(﹣36)
(2)﹣32+(﹣)2×(﹣)+|﹣22|+(﹣1)2013;
(3)36×(﹣99);
(4)﹣13×﹣0.34×+×(﹣13)﹣×0.34(用简便方法计算)
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【题目】在正方形ABCD中,点P是CD边上一动点,连接PA,分别过点B、D作、,垂足分别为E、F.
如图,请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系?
若点P在DC的延长线上,如图,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?
若点P在CD的延长线上,如图,请直接写出结论.
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【题目】之前我们学习了一元一次方程的解法,下面是一道解一元一次方程的题:
解方程﹣=1
老师说:这是一道含有分母的一元一次方程,我们可以根据等式的性质,可以把方程的两边同乘以6,这样就可以去掉分母了.于是,小明按照老师说的方法进行了解答,小明同学的解题过程如下:
解:方程两边同时乘以6,得×6﹣×6=1…………①
去分母,得:2(2﹣3x)﹣3(x﹣5)=1………②
去括号,得:4﹣6x﹣3x+15=1……………③
移项,得:﹣6x﹣3x=1﹣4﹣15…………④
合并同类项,得﹣9x=﹣18……………⑤
系数化1,得:x=2………………⑥
上述小明的解题过程从第 步开始出现错误,错误的原因是 .
请帮小明改正错误,写出完整的解题过程.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,将菱形沿EF折叠,点B正好落在AD边的点G处,且EG⊥AC,若CD=8,则FG的长为( )
A.4
B.4
C.4
D.6
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【题目】如图所示,AB⊥BC且AB=BC,CD⊥DE且CD=DE,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形面积是( )
A. 64 B. 50 C. 48 D. 32
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