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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=nAD,点E,F分别在边AB,AD上且不与顶点A,B,D重合,∠AEF=∠BCE,圈O过A,E,F三点.
(1)求证:圈O与CE相切与点E;
(2)如图1,若AF=2FD且∠AEF=30°,求n的值;
(3)如图2.若EF=EC且圈O与边CD相切,求n的值.

【答案】
(1)证明:在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,

∴圆心O是EF的中点;

∵∠AEF=∠BCE,∠BEC+∠BCE=90°,

∴∠BEC+∠AEF=90°,

即∠FEC=90°,

∴圆O与CE相切与点E


(2)解:如图1,设FD=x,AF=2x;

则BC=3x;

∵∠AEF=30°,

∴AE=AFtan 30°=2 x,

∵∠BCE=30°,

∴BE=BCtan30°= x,

∴AB=3 x,

∴n= =


(3)解:设切点为G,连OG并延长交AE于点H;

在△AEF与△BCE中,

∴△AEF≌△BCE(AAS)

设BC=AE=y,

则BE=AF=(n﹣1)y,

HE= AE= y

∴由切线的性质可知:OG=OE=OF,

∴由中位线的性质可知:OH= AF=

∴OE=OG=y﹣ y= y,

∴Rt△OHE中,由勾股定理可知:

2=( 2+( 2

解得:n=


【解析】(1)只需要证明∠FEC=90°即可,由于∠AEF=∠BCE,∠BEC+∠BCE=90°,所以∠BEC+∠AEF=90°,(2)设FD=x,AF=2x,所以BC=3x,根据特殊角的锐角三角函数值即可求出BE、AB的长度,从而可求出n的值.(3)设切点为G,连OG并延长交AE于点H;,先证明△AEF≌△BCE,然后根据AB=nAD,可设BC=y,然后用y表示OH、OE,HE的长度,根据勾股定理即可求出n的值.

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