Question

19．设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的重心分别为E，F，G，H，则S_EFGH：S_ABCD=$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 四边形的两条对角线将四边形分成四个三角形，根据重心的性质可得这四个三角形的重心E，F，G，H连成的四边形是平行四边形，而这个平行四边形又被两条对角线AC和BD分成四块小平行四边形，每块小平行四边形的面积在被AC、BD分得的四个三角形中的比例是一样的，所以只需考查一个小平行四边形与一个三角形面积之比即可．

解答 解：如图：

∵E、F分别是△OAB与△OBC的重心，
∴$\frac{BE}{EM}=\frac{BF}{FO}=\frac{2}{1}$，
∴EF∥AC，
同理：FG∥BD，HG∥AC，HE∥BD，
∴ERUQ，RUSF，USGT，THQU，EFGH是平行四边形，
∵$\frac{BE}{BM}=\frac{2}{3}$，∴$\frac{{S}_{△BER}}{{S}_{△BMU}}=\frac{4}{9}$，
同理：$\frac{{S}_{△MEQ}}{{S}_{△BMU}}=\frac{1}{9}$，
∴$\frac{{S}_{ERUQ}}{{S}_{△BMU}}=\frac{4}{9}$，
∴$\frac{{S}_{ERUQ}}{{S}_{△ABU}}=\frac{2}{9}$，
同理：$\frac{{S}_{RUSF}}{{S}_{△BCU}}=\frac{2}{9}$，$\frac{{S}_{USGT}}{{S}_{△CDU}}=\frac{2}{9}$，$\frac{{S}_{THQU}}{{S}_{△ADU}}=\frac{2}{9}$．
∴$\frac{{S}_{EFGH}}{{S}_{ABCD}}=\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了重心的性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定及性质、面积比例等重要知识点．巧妙利用重心分中线所成比为2：1这一重要性质是关键．