Question

【题目】如图，⊙O的直径AB=12cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD．

（1）求证：点P为 的中点；
（2）若∠C=∠D，求四边形BCPD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OP，

∵CP与⊙O相切于点P，

∴PC⊥OP，

∴∠OPC=90度，

∵BD∥CP，

∴∠OEP=OPC=90度，

∴BD⊥OP，

∴点P为 的中点．

（2）解：∵∠C=∠D，

∵∠POB=2∠D，

∴∠POB=2∠C，

∵∠CPO=90°，

∴∠C=30°，

∵BD∥CP，

∴∠C=∠DBA，

∴∠D=∠DBA，

∴BC∥PD，

∴四边形BCPD是平行四边形，

∵PO= AB=6，

∴PC=6 ，

∵∠ABD=∠C=30°，

∴OE= OB=3，

∴PE=3，

∴四边形BCPD的面积=PCPE=6 ×3=18 ．

【解析】（1）由切线性质定理和垂径定理推论可证出；（2）由圆周角定理可得出∠POB=2∠C，∠CPO=90°，∠C=30°，求出底边长和高，即能求出其面积.
【考点精析】利用平行四边形的判定与性质和垂径定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．