Question

【题目】将一副三角尺如图①摆放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．

（1）求∠ADE的度数；

（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°<α<60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）的值不会随着α的变化而变化。．

【解析】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC-∠EDF计算即可得解；

（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得为定值．

试题解析：（1）由题意知： CD是Rt△ABC中斜边AB上的中线，

∴AD=BD=CD，

∵在△BCD中，BD=CD且∠B=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BCD=∠BDC=60°，

∴∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=180°－60°－90°=30°

（2）的值不会随着α的变化而变化。

理由如下：∵△APD的外角∠MPD=∠A＋∠ADE=30°＋30°=60°，

∴∠MPD=∠BCD=60°．

∵在△MPD和△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，

∴△MPD∽△NCD，，

又∵由（1）知AD=CD，

∴∠ACD=∠A=30°，即∠PCD=30°．

在Rt△PCD中，∠PCD=30°，

∴，

∴