Question

已知对称轴为y轴的抛物线y=ax²+c，与直线l₁交于A（-4，3）、B（2，0）两点．经过点C（0，-2）的直线l₂与x轴平行，O为坐标原点．
（Ⅰ）求直线l₁和这条抛物线的解析式；
（Ⅱ）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l₂与⊙A的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）设直线l₁上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是（Ⅰ）中抛物线上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．

Answer 1

分析：（1）已知A（-4，3）、B（2，0）两点的坐标，用待定系数法即可求出直线AB的解析式；再把A．B两点的坐标代入y=ax²+c即可求出抛物线的解析式；
（2）根据A点坐标可求出半径OA的长，然后判断A到直线l₂的距离与半径OA的大小关系即可；
（3）根据直线AB的解析式可求出D点的坐标，即可得到OD的长，由于OD的长为定值，若△POD的周长最小，那么PD+OP的长最小，可过P作y轴的平行线，交直线l₂于M；首先证PO=PM，此时PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小时，应有PD+PM=DM，即D、P、M三点共线，由此可求得P点的坐标；此时四边形CODP是梯形，根据C、O、D、P四点坐标即可求得上下底DP、OC的长，而梯形的高为D点横坐标的绝对值由此可求出四边形CODP的面积．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-4，3）、B（2，0）两点的坐标分别代入得：

-4k+b=3 2k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=1

，
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+1，
∵抛物线y=ax²+c，与直线l₁交于A（-4，3）、B（2，0）两点，
∴

3=16a+c 0=4a+c

，
解得：

a= 1 4 c=-1

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-1；
（2）易知：A（-4，3），则OA=

32 +42

=5，
而A到直线l的距离为：3-（-2）=5；
所以⊙A的半径等于圆心A到直线l的距离，
即直线l₂与⊙A相切；
（3）过P作PM∥y轴，交直线l₂于M；
则P（m，n），M（m，-2）；
∴PO²=m²+n²，PM²=（n+2）²；
∴n=

1

4

m²-1，即m²=4n+4；
∴PO²=n²+4n+4=（n+2）²，
即PO²=PM²，PO=PM；
易知D（-1，

3

2

），则OD的长为定值；
若△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小；
∵PO+PD=PD+PM≥DM，
∴PD+PO的最小值为DM，
即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；
此时点P的横坐标为-1，代入抛物线的解析式可得y=

1

4

-1=-

3

4

，
即P（-1，-

3

4

）；
∴S_{四边形CPDO}=

1

2

（CO+PD）×|x_D|=

1

2

×（2+

3

2

+

3

4

）×1=

17

8

．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，还涉及到解析几何中抛物线的相关知识，能力要求极高，难度很大．