Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并保证三角板的两直角边PE、PF分别与线段AC、AB相交，交点分别为N、M．线段MN、AP相交于点D．
（1）请你猜出线段PM与PN的大小关系，并说明理由；
（2）设线段AM的长为x，△PMN的面积为y，试用关于x的代数式表示y；
（3）当AM的长x取何值时，△PMN的面积y最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据∠APC=∠EPF=90°，得出∠APE=90°-∠APF=∠BPF，再利用AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，即可得出△NAP≌△MBP，得出PN=PM；
（2）利用S_△PMN=S_△ABC-S_△PCN-S_△PMB-S_△NAM，表示出各三角形的面积即可得出答案；
（3）利用二次函数最值求法直接求出即可．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CP=BP，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∠APE=90°-∠APF=∠BPF，
又AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，
∴△NAP≌△MBP，
∴PN=PM，

（2）作PW⊥AC，PR⊥AB，
∴PW∥AB，PR∥AC，
∵P是BC的中点，
∴PW=1，PR=1，
∵设线段AM的长为x，
∴BM=2-x，
∵BM=AN，
∴CN=2-（2-x）=x，
∴y=S_△PMN=S_△ABC-S_△PCN-S_△PMB-S_△NAM
=

1

2

×2×2-

1

2

×x×1-

1

2

×1×（2-x）-

1

2

x（2-x），
=2-

1

2

x-1+

1

2

x-x+

1

2

x²，
=

1

2

x²-x+1，

（3）当x=-

b

2a

=-

-1

2× 1 2

=1时，△PMN的面积y最小，
最小值为：

4ac- b2

4a

=

4× 1 2 ×1-1

4× 1 2

=

1

2

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与三角形面积求法以及二次函数最值求法，此题综合性较强，根据全等的性质表示出各三角形面积是解决问题的关键．