Question

如图，将一张长为1、宽为a的长方形纸片（

1

2

＜a＜1）折一下，剪下一个边长等于宽度a的正方形（称为第一次操作）；再将剩下的长方形如图折一下，再次剪下一个边长等于该长方形宽度的正方形（称为第二次操作）…如此反复操作下去，直到第n次操作后，剩下的小长方形为正方形时停止操作．当n=3时，a的值为

3

5

或

3

4

．

Answer 1

分析：根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当

1

2

＜a＜1时，矩形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1-a，剩下的矩形相邻的两边分别为1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）与（2a-1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．

解答：解：如果1-a＞2a-1，即a＜

2

3

，第二次操作剩余的矩形的长是：1-a，宽是a-（1-a）=2a-1；
第三次操作剩余的矩形的长是a-（1-a）=2a-1，宽是：（1-a）-（2a-1）=2-3a．
根据题意得：2a-1=2-3a．
解得：a=

3

5

．
如果1-a＜2a-1，即a＞

2

3

，那么第三次操作时正方形的边长为1-a．
则1-a=（2a-1）-（1-a），
解得a=

3

4

．
故答案为

3

5

或

3

4

．

点评：本题考查了矩形的折叠问题，正确表示出每次折叠以后剩余的矩形的长和宽是解题的关键．