Question

已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．
①求证：EF与GH互相平分；
②当四边形ABCD的边满足

 

 条件时，EF⊥GH．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：证明题

分析：（1）连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理即可证得EG=FH/GF=EH，则四边形EFGH是平行四边形，
利用平行四边形的性质即可证得；
（2）EF⊥GH时能得到四边形GFHE四边相等，从而得到四边形ABCD的四边相等．

解答：解：（1）连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG=

1

2

CD，
同理FH=

1

2

CD，FG=

1

2

AB，EH=

1

2

AB
∴EG=FH、GF=EH
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EF与GH互相平分；
（2）当EF⊥GH时四边形EFGH是菱形，
此时GF=FH=HE=EG，
∵EG=

1

2

CD，FH=

1

2

CD，FG=

1

2

AB，EH=

1

2

AB
∴AB=BC=CD=DA，
∴当四边形ABCD的边满足条件AB=BC=CD=DA时，EF⊥GH．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定与性质，正确证明四边形EFGH是菱形是关键．