Question

（2013•昌平区二模）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、DA上向点B、点A运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离；
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

Answer 1

分析：（1）首先表示出AN的长，进而得出∠PAN的度数，利用PN=AN•sin∠PAN=

1

2

（20-x）得出即可；
（2）首先得出S_△AMN=

1

2

AM•NP，进而得出其最值，利用S_{五边形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，得出当x=10时，五边形BCDNM面积最小，进而得出△AMN的形状．

解答：解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．
由已知得，AM=x，AN=20-x．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD=BC，
∴∠D=∠C=30°．
∴∠PAN=∠D=30°．
在Rt△APN中，PN=AN•sin∠PAN=

1

2

（20-x）．
即点N到AB的距离为

1

2

(20-x)．

（2）根据（1）S_△AMN=

1

2

AM•NP=

1

4

x（20-x）=-

1

4

x2+5x．
∵-

1

4

＜0，
∴当x=10时，S_△AMN有最大值．
又∵S_{五边形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，且S_梯形为定值，
∴当x=10时，五边形BCDNM面积最小．此时，ND=AM=10，AN=AD-ND=10，
∴AM=AN．
∴当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及二次函数最值问题以及等腰三角形的性质等知识，根据二次函数最值得出五边形BCDNM面积最小时AN、AM的值是解题关键．