Question

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D.点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。

1.（1）当x为何值时，PQ⊥AC， x为何值时，PQ⊥AB；

2.（2）设△PQD的面积为y(cm²)，当0<x<2时，求y与x的函数关系式；

3.（3）当0<x<2时，求证：AD平分△PQD的面积。

 

Answer 1

 

1.1）

解：当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC. 当Q在AC上时，

由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x，∵AB=BC=CA=4  ∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ，∴4-x=2×2x, ∴，

当（Q在AC上）时，PQ⊥AC，………2分

 

如图：①当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=，AC+AQ=2x，                 ∵AC=4，∴AQ=2x-4，∴ 

 ∴，故时PQ⊥AB. ………4分

2.（2）

解：如图②，当0<x<2时，P在BD上，Q在AC上，

过点Q作QH⊥BC于H，∵∠C=60°，QC=2x，

∴QH=QC×sin60°=x

，∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∴DP=2-x，………5分

∴………6分

3.（3）当0<x<2时，在Rt△QHC中，QC=2x，∠C=60°，

 ∴HC=x∴BP=HC，∴BD=CD， ∴DP=DH

∵AD⊥BC，QH⊥BC   ∴AD∥QH，

∴OP=OQ ∴ 

 ∴AD平分△PQD的面积………7

解析:略