Question

19．某直升飞机在我方追击炮阵地M上方测得敌军雷达站P的俯角为15°，在向点P的迎面沿仰角30°的方向飞行，升高100米后再测点P的俯角为30°，分别求原飞行高度和点M到点P的水平距离（tan15°=2-$\sqrt{3}$，cot15°=2+$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 作PQ⊥AF，由题意知∠1=15°，∠2=∠3=∠4=30°，BG=100米，先求出AG=GF=100$\sqrt{3}$，设PQ=x，知FQ=$\sqrt{3}$x，根据tan∠1=$\frac{PQ}{AQ}$求出x的值即可得．

解答 解：如图，作PQ⊥AF交AF延长线于点Q，

由题意知∠1=15°，∠2=∠3=∠4=30°，BG=100米，
在Rt△ABG中，AG=$\frac{BG}{tan∠2}$=$\frac{100}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=100$\sqrt{3}$，
在Rt△BGF中，GF=BGtna∠GBF=100tan60°=100$\sqrt{3}$，
∴AF=AG+GF=200$\sqrt{3}$，
设PQ=x，则FQ=$\frac{PQ}{tan∠4}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$x，
∴AQ=AF+FQ=200$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$x，
由tan∠1=$\frac{PQ}{AQ}$可得$\frac{x}{200\sqrt{3}+\sqrt{3}x}$=2-$\sqrt{3}$，
解得：x=100$\sqrt{3}$，
即PQ=AM=100$\sqrt{3}$，
则MP=AQ=200$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$×100$\sqrt{3}$=300+200$\sqrt{3}$，
答：原飞行高度为100$\sqrt{3}$米，点M到点P的水平距离为（300+200$\sqrt{3}$）米．

点评 本题主要考查解直角三角形的仰角与俯角的应用，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数关系得出是解题关键．