练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有①②⑤（写出所有正确结论的序号）
    ①△CMP∽△BPA；
    ②四边形AMCB的面积最大值为10；
    ③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
    ④线段AM的最小值为2$\sqrt{5}$；
    ⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4$\sqrt{2}$-4．

    分析 ①正确，只要证明∠APM=90°即可解决问题．
    ②正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．
    ③错误，设ND=NE=y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
    ④错误，作MG⊥AB于G，因为AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．
    ⑤正确，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，列出方程即可解决问题．

    解答 解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
    ∵∠CPN+∠NPB=180°，
    ∴2∠NPM+2∠APE=180°，
    ∴∠MPN+∠APE=90°，
    ∴∠APM=90°，
    ∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
    ∴∠CPM=∠PAB，
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
    ∴△CMP∽△BPA．故①正确，
    设PB=x，则CP=4-x，
    ∵△CMP∽△BPA，
    ∴$\frac{PB}{CM}$=$\frac{AB}{PC}$，
    ∴CM=$\frac{1}{4}$x（4-x），
    ∴S四边形AMCB=$\frac{1}{2}$[4+$\frac{1}{4}$x（4-x）]×4=-$\frac{1}{2}$x2+2x+8=-$\frac{1}{2}$（x-2）2+10，
    ∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，
    当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，
    在RT△PCN中，（y+2）2=（4-y）2+22解得y=$\frac{4}{3}$，
    ∴NE≠EP，故③错误，
    作MG⊥AB于G，
    ∵AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，
    ∴AG最小时AM最小，
    ∵AG=AB-BG=AB-CM=4-$\frac{1}{4}$x（4-x）=$\frac{1}{4}$（x-2）2+3，
    ∴x=2时，AG最小值=3，
    ∴AM的最小值=$\sqrt{16+9}$=5，故④错误．
    ∵△ABP≌△ADN时，
    ∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，
    ∴∠KPA=∠KAP=22.5°
    ∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
    ∴∠BPK=∠BKP=45°，
    ∴PB=BK=z，AK=PK=$\sqrt{2}$z，
    ∴z+$\sqrt{2}$z=4，
    ∴z=4$\sqrt{2}$-4，
    ∴PB=4$\sqrt{2}$-4，故⑤正确．
    故答案为①②⑤．

    点评 本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    14．在⊙O中，已知半径长为5，弦AB长为6，那么圆心O到AB的距离为4．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    15．在一次中学生趣味数学竞赛中，参加比赛的10名学生的成绩如下表所示：
    分数80859095
    人数1432
    这10名学生所得分数的平均数是（　　）
    A．86B．88C．90D．92

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    12．4的平方根是（　　）
    A．16B．±16C．2D．±2

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
    （1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
    （2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
    （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
    （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）
    （1）求反比例函数的解析式；
    （2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
    （1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
    （2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
    （3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{3}$，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将$\widehat{BD}$绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=2，将AB所在的直线绕点A旋转45°，交直线BC于D，则DB的长度为$\frac{29}{7}$或$\frac{29}{3}$．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案