Question

【题目】如图，在中，，，、是的两个外角，平分，平分．

求证：四边形是菱形．

若，连接，求长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】

（1）由在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，可得△ABC是等边三角形，又由AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，可得△ACD是等边三角形，继而证得结论；

（2）由四边形ABCD是菱形，∠B=60°，易得AC与BD互相垂直且平分，然后由含30°角的直角三角形的性质，求得答案．

（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，∴∠FAC=∠ACE=120°．

∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，∴∠DAC=∠DCA=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=CD=AC，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形．

（2）∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∠ABO=∠ABC=30°，∴OA=AB=×2=1，∴OB==，∴BD=2OB=．