Question

7．如图，在平面内直角坐标系中，直线y=2x+4分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，2）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=3OC，点E是y轴上任意一点，记点E为（0，n）．
（1）求点D的坐标及直线BC的解析式；
（2）连结DE，将线段DE绕点D按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形的顶点F落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．
（3）作点E关于AC的对称点E′，当n为何值时，AE′分别与AC，BC，AB垂直？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①如图1中，当点F在BC上时，作FH⊥y轴于H，作DM⊥y轴于M．由△EDM≌△FEH，推出DM=EH=1，EM=FH=n-2，推出F（n-2，n-1），把F点坐标代入y=-$\frac{1}{3}$x+4，即可解决问题；②如图2中，当点F在AB上时，作DH⊥OC于H．由△DHE≌△EOF，可得DH=EO=1，即可解决问题；
（3）分三种情形①如图3中，当AE′⊥AC时，②如图4中，当AE′⊥BC时，延长AE′交BC于G，③如图5中，当AE′⊥AB时，分别求解即可；

解答 解：（1）由题意A（-2，0），C（0，4），
把D（m，2）代入y=2x+4解得m=-1，
∴D（-1，2），
∵OB=3OC，OC=4，
∴OB=12，
∴B（12，0），设直线BC的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{12k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+4．

（2）①如图1中，当点F在BC上时，作FH⊥y轴于H，作DM⊥y轴于M．

由△EDM≌△FEH，
∴DM=EH=1，EM=FH=n-2，
∴F（n-2，n-1），把F点坐标代入y=-$\frac{1}{3}$x+4，
得到n-1=-$\frac{1}{3}$（n-2）+4，
∴n=$\frac{17}{4}$．

②如图2中，当点F在AB上时，作DH⊥OC于H．

由△DHE≌△EOF，可得DH=EO=1，
∴n=1，
综上所述，满足条件的n的值为$\frac{17}{4}$或1．

（3）①如图3中，当AE′⊥AC时，

∵直线AC的解析式为y=2x+4，
∴直线AE′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1，
∴E（0，-1），
∴n=-1．
②如图4中，当AE′⊥BC时，延长AE′交BC于G，

易知，CE=CE′=4-n，AE=$\sqrt{{n}^{2}+4}$，
由△BOC∽△BGA，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{OB}{BG}$，
∴$\frac{4\sqrt{10}}{14}$=$\frac{12}{BG}$，
∴BG=$\frac{21\sqrt{10}}{5}$，
∴CG=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由△CGE′∽△AOE，
∴$\frac{CG}{OA}$=$\frac{CE′}{AE}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{2}$=$\frac{4-n}{\sqrt{{n}^{2}+4}}$，
解得n=$\frac{26}{9}$或6（舍弃）．

③如图5中，当AE′⊥AB时，

易证AE=CE，设AE=CE=x，
在Rt△AEO中，∵AE²=OE²+OA²，
∴x²=（4-x）²+2²，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴AE=CE=$\frac{5}{2}$，
∴OE=$\frac{3}{2}$，
∴n=$\frac{3}{2}$，
综上所述，当AE′分别与AC，BC，AB垂直时，n的值分别为-1或$\frac{26}{9}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．属于中考压轴题．