Question

【题目】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题。下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式的解集

（1）探究的几何意义

如图①，在以O为原点的数轴上，设点A＇对应点的数为，由绝对值的定义可知，点A＇与O的距离为，

可记为：A＇O=。将线段A＇O向右平移一个单位，得到线段AB，，此时点A对应的数为，点B的对应数是1，

因为AB= A＇O，所以AB=。

因此，的几何意义可以理解为数轴上所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB。

（2）求方程=2的解

因为数轴上3与所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为

（3）求不等式的解集

因为表示数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点所对应的数的范围。

请在图②的数轴上表示的解集，并写出这个解集

探究二：探究的几何意义

（1）探究的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（），Q点坐标（），|OP|=，|OQ|=，

在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则

因此的几何意义可以理解为点M与原点O（0,0）之间的距离OM

（2）探究的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为，由探究（二）（1）可知，

A＇O=，将线段 A＇O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（1,5）。

因为AB= A＇O，所以 AB=，因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（1,5）之间的距离。

（3）探究的几何意义

请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程。

（4）的几何意义可以理解为：_________________________.

拓展应用：

（1）+的几何意义可以理解为：点A与点E的距离与点AA与点F____________（填写坐标）的距离之和。

（2）+的最小值为____________(直接写出结果)

Answer 1

【答案】探究一（3） 解集为：

探究二（3）（）拓展应用（1）（） （2）5

【解析】

试题分析：探究一（3）：的解集就是数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离小于2的点所对应的数，利用数轴可知

探究二（3）：根据题目信息，的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离。

拓展应用：根据题目信息知是与点F（）的距离之和。

+表示点A与点E的距离与点A与点F（）的距离之和。∴最小值为E与点F（）的距离5.

试题解析：探究一

（3）

解集为：

探究二（3）

如图⑤，在直角坐标系中，设点 A＇的坐标为，

由探究（二）（1）可知， A＇O=，

将线段 A＇O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，

得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（）。

因为AB= A＇O，所以 AB=，

因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离。

拓展应用

（1）（） （2）5