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解答题
①已知:如图,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=4,AC=2,AD⊥BC,D是垂足.求:AD的长.
②如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?

①解:过C作CE⊥BA交BA的延长线于E,
∵∠CAB=120°,
∴∠CAE=60°,
∴∠ACE=30°
∵AC=2,
∴AE=AC=1
∵在Rt△ACE中,由勾股定理可得:CE2=AC2-AE2=3,
∴CE=
在Rt△BCE中,由勾股定理可得:BC2=CE2+BE2=28,
∴BC=
AB×CE=CB×AD,
×4×=××AD,
∴AD=
②解:
作A关于小河(EF)的对称点C,连接BC交EF于P,则此时AP+BP最小,
过B作OB⊥AC于O,
则BO=8,CA=4+4=8,CO=8+7=15,
则PA+PB=PC+PB=BC==17(km),
答:要完成这件事情所走的最短路程是17km.
分析:①过C作CE⊥BE交BA的延长线于E,求出∠ACE=30°,求出AE,CE,根据三角形面积公式得出AB×CE=CB×AD,代入求出即可;
②根据题意画出P点的位置,得出A、C关于小河对称,求出BO、CO,根据勾股定理求出BC,即可求出答案.
点评:本题考查了勾股定理、轴对称-最短路线问题、含30度角的直角三角形的应用,解(1)的关键是得出关系式AB×CE=CB×AD和求出CB、CE的长,解(2)的关键是找出P点的位置.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

解答题
①已知:如图,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=4,AC=2,AD⊥BC,D是垂足.求:AD的长.
②如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读解答题:
已知如图①,锐角△ABC中,AB、AC边上的高CE、BD相交于O点.若∠A=n°,求∠BOC的度数.
解:∵CE、BD是高
∴∠BEO=90°,∠BDA=90°
在△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=n°
∴∠ABD=90°-n°
∴∠BOC=∠BEO+∠ABD=90°+90°-n°=180°-n°
即∠BOC的度数为(180-n)°
(1)若将题中已知条件“锐角△ABC”改为“钝角△ABC,且∠A为钝角”,其它条件不变(图②),请你求出∠BOC的度数.
(2)若将题中已知条件“锐角△ABC”改为“钝角△ABC,且∠B为钝角”,其它条件不变(图③),请你求出∠BOC的度数.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

根据所给的基本材料,请你进行适当的处理,编写一道综合题.
编写要求:①提出具有综合性、连续性的三个问题;②给出正确的解答过程;③写出编写意图和学生答题情况的预测.
材料①:如图,先把一矩形纸片ABCD对折,得到折痕MN,然后把B点叠在折痕线上,得到△ABE,再过点B把矩形ABCD第三次折叠,使点D落在直线AD上,得到折痕PQ.当沿着BE第四次将该纸片折叠后,点A就会落在EC上.
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材料②:已知AC是∠MAN的平分线.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,
则AB+AD=
 
AC(用含α的三角函数表示).
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材料③:
已知:如图甲,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ,设运动的时间为t(s)(0<t<2).
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编写试题选取的材料是
 
(填写材料的序号)
编写的试题是:(1)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式.
(2)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值.
(3)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C.是否存在某一时刻t,使四边形PQP'C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长.
试题解答(写出主要步骤即可):(1)过点Q作QD⊥AP于点D,证△AQD∽△ABC,利用相似性质及面积解答;
(2)分别求得Rt△ACB的周长和面积,由周长求出t,代入函数解析式验证;
(3)利用余弦定理得出PC、PQ,联立方程,求得t,再代入PC解得答案.

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科目:初中数学 来源:新课标教材导学  数学八年级第一学期 题型:047

解答题:

已知:如图在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.试说明:四边形EHFG是平行四边形.

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科目:初中数学 来源:新课标3维同步训练与评价·数学·九年级·上 题型:044

解答题

(1)已知:如图△ABC为正三角形,点M为BC边上任意一点,点N为CA边上任意一点,且BM=CA,BN与AM相交于Q点,试求∠BQM的度数.

(2)如果将(1)中的正三角形改为正方形ABCD,(如下图)点M为BC边上任意一点,点N为CD边上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,那么∠BQM等于多少度呢?说明理由.

(3)如果将(1)中的“正三角形”改为正五边形……正n边形,其它条件都不变,请你根据(1)(2)的求解思路,将你推断的结论填入下表.

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