如图，在Rt△ABO 中，AO=4，BO=3，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）．分析 （1）作QH⊥OA于H．易知S=$\frac{1}{2}$•AP•QH=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{3}{5}$t2+3t，根据二次函数的性质即可解决问题；
（2）因为∠PAQ=∠OAB，所以当$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△AOB，或$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$时，△PAQ∽△BAO，分别列出方程即可解决问题；
（3）如图2中，设OP为直径的⊙K与AB相切于点M．求出此时的t的值即可解决问题；
解答 解：（1）作QH⊥OA于H．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵QH∥OB，
∴$\frac{QH}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴QH=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S=$\frac{1}{2}$•AP•QH=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{3}{5}$t2+3t，
∵S=-$\frac{3}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）2+$\frac{15}{4}$，
∵-$\frac{3}{5}$＜0，0＜t≤2，
∴t=2时，S有最大值．
（2）因为∠PAQ=∠OAB，
所以当$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△AOB，
∴$\frac{2t}{4}$=$\frac{5-t}{5}$，
解得t=$\frac{10}{7}$s，
或$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$时，△PAQ∽△BAO，
∴$\frac{2t}{5}$=$\frac{5-t}{4}$，
解得t=$\frac{25}{13}$s
综上所述，t=$\frac{10}{7}$s或$\frac{25}{13}$s时满足条件．
（2）如图2中，设OP为直径的⊙K与AB相切于点M．
由sinA=$\frac{KM}{AK}$=$\frac{OB}{AB}$，可得$\frac{\frac{4-2t}{2}}{\frac{4-2t}{2}+2t}$=$\frac{3}{5}$，
解得t=$\frac{1}{2}$s，
∴当0＜t＜$\frac{1}{2}$时，⊙K与AB相交，当t=$\frac{1}{2}$时，⊙K与AB相切，当$\frac{1}{2}$＜t＜2时，⊙K与AB相离．
点评 本题考查相似形综合题、二次函数、圆与直线的位置关系等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
阅读快车系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 110° | B． | 125° | C． | 130° | D． | 140° |
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
如图将一条两边都互相平行的纸带进行折叠，设∠1为α度，则∠2=90°-$\frac{1}{2}$α．（请用含有α的代数式表示）
如图所示，平移线段AB到CD的位置，则AB=CD，CD∥AB，BD=AC．