Question

（1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S_△ABD=S_△ACD，依据是

等底同高

．
（2）如图2梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，请找出图中三对面积相等的三角形，

△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC

．
（3）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案．

Answer 1

分析：（1）由AD是△ABC中BC边的中线，可知BD=CD，再有△ADB和△ADC是同高，可得S_△ABD=S_△ACD；
（2）过A作AM⊥CB于M，过D作DN⊥BC于N，延长DA、AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，根据平行线间的距离相等可得BF=AM=DN=CF，再利用三角形的面积公式表示出△ADC和△ADB的面积，观察发现这两个三角形是同底等高，面积相等；同理可得△ABC和△DBC的面积相等；再根据三角形的面积和差关系可得△AOB和△DOC；
（3）连接AF两点，过E点作EG∥AF交AB于G点，连接FG，FG就是修水渠的路线．

解答：解：（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S_△ABD=S_△ACD，依据是等底同高；
（2）图中三对面积相等的三角形：△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC；
理由如下：过A作AM⊥CB于M，过D作DN⊥BC于N，延长DA、AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，
∴BF=AM=DN=CF（平行线间的距离相等），
∵S_△ADC=

1

2

•AD•CF，S_△ADB=

1

2

•AD•BF，
∴S_△ADC=S_△ABD；
∴S_△ADC-S_△ADO=S_△ABD-S_△ADO，
即：S_△ABO=S_△DOC；
∵S_△ABC=

1

2

•CB•AM，S_△DBC=

1

2

•CB•DN，
∴S_△ABC=S_△DBC；

（3）连接AF两点，过E点作EG∥AF交AB于G点，连接GF，
则直线GF就是所求作的直线．

点评：此题主要考查了三角形的面积求法，以及应用与设计作图，关键是正确找到三角形的高线，利用三角形的面积公式表示出每个三角形的面积．