Question

7．如图，已知反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象绕原点O逆时针旋转45°，所得的图象与原图象相交于点A，连接OA，以O为圆心，OA为半径作圆，交函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象与点B，则扇形AOB的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．

Answer 1

分析 如图，作AD⊥y轴于D，由题意∠AOD=22.5°，根据对称性可知，∠AOB=90°-2×22.5°=45°，在OD上取一点F，使得OF=OA，推出∠FOA=∠FAO=22.5°，推出∠AFD=∠DAF=45°，设DA=DF=a，则OF=AF=$\sqrt{2}$a，A[a，（1+$\sqrt{2}$）a]，由点A在y=$\frac{2}{x}$上，推出（1+$\sqrt{2}$）a²=2，推出a²=2（$\sqrt{2}$-1），由OA²=a²+（1+$\sqrt{2}$）²a²=（4+2$\sqrt{2}$）a²=4$\sqrt{2}$，根据扇形AOB的面积=$\frac{45•π•O{A}^{2}}{360}$计算即可．

解答 解：如图，作AD⊥y轴于D，由题意∠AOD=22.5°，
根据对称性可知，∠AOB=90°-2×22.5°=45°，
在OD上取一点F，使得OF=FA，
∴∠FOA=∠FAO=22.5°，
∴∠AFD=∠DAF=45°，设DA=DF=a，则OF=AF=$\sqrt{2}$a，A[a，（1+$\sqrt{2}$）a]，
∵点A在y=$\frac{2}{x}$上，
∴（1+$\sqrt{2}$）a²=2，
∴a²=2（$\sqrt{2}$-1），
∵OA²=a²+（1+$\sqrt{2}$）²a²=（4+2$\sqrt{2}$）a²=4$\sqrt{2}$，
∴扇形AOB的面积=$\frac{45•π•O{A}^{2}}{360}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．

点评 本题考查坐标与图形的变化-旋转、反比例函数的性质、扇形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．