Question

菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA=5，cosB=，直线AC交y轴于点D，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C向终点C匀速运动，同时，动点Q从D点出发，以每秒个单位的速度沿DA向终点A匀速运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）求△PCQ的面积S（点P在BC上）与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当t=时，直线PQ交y轴于F点，求的值．

Answer 1

解：（1）作CE⊥OA交OA于点E，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=5，∠1=∠B，
∵cosB=，
∴cos∠1==，
∴，
∴OE=3，∴AE=2，
在Rt△OEC和Rt△AEC中，由勾股定理，得
EC=4，CA=2，
∴C（3，4）；

（2）∵OA=5，
∴A（5，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，由题意，得
，解得，
∴直线AC的解析式为：y=-2x+10，
当x=0时，y=10，
∴OD=10，在Rt△AOD中由勾股定理，得
AD=5，
∴CD=3，
∴当≤t＜3时，
DQ=t，QA=5-t，
∴，
∴，
∴QG=10-2t，
∴S=，
S=2t²-16t+30，
当3＜t＜5时，
S=，
S=-2t²+16t-30；

（3）当t=时，P（8，4），QG=5，
∴5=-2x+10，
∴x=，
∴Q（，5），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，由题意，得
，解得，
∴直线PQ的解析式为y=-x+，
当x=0时，y=，
∴OF=，
∴FD=，
∴=．
分析：（1）由四边形ABCO是菱形我们可以得出角相等和边相等，作CE⊥OA交OA于点E，由cosB=求出OE的长度，再根据勾股定理就可以求出CE的长度，从而求出C点的坐标．
（2）根据A、C的坐标求出直线AC的解析式，求出AD的长，利用勾股定理求出AC的长，从而求出CD的长度，分为点Q在CD之间和在AC之间时两个不同的解析式．
（3）当t=时，利用相似可以求出Q、B的坐标，从而可以求出直线PQ的解析式，求出OF的值，从求出其结论．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了三角形的面积公式的运用菱形的性质，勾股定理的运用，待定系数法求函数的解析式及解直角三角形的相关知识．