Question

【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）证明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

Answer 1

（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠ENC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠ENC=∠MAE．

∴MA=MN．

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS）．

∴AD=NC．

∴MA=MN=NC+MC

=AD+MC．

（2）AM=DE+BM成立．

证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=90°．

∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（ASA）．

∴BF=DE，∠F=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠FAB

=∠FAM．[来源:Z。xx。k.Com]

∴∠F=∠FAM．

∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．

证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠EPC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．

∴MA=MP．

在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE（AAS）．

∴AD=PC．

∴MA=MP=PC+MC

=AD+MC．

②结论AM=DE+BM不成立．

证明：假设AM=DE+BM成立．

过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．

∵AQ⊥AE，

∴∠QAE=90°．

∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．

∴∠Q=90°﹣∠QAB

=90°﹣∠DAE

=∠AED．

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE．

∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB

=∠QAM．

∴∠Q=∠QAM．

∴AM=QM．

∴AM=QB+BM．

∵AM=DE+BM，

∴QB=DE．

在△ABQ和△ADE中，

∴△ABQ≌△ADE（AAS）．

∴AB=AD．

与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．

∴AM=DE+BM不成立．