Question

20．用换元法解下列方程：
（1）x²-x+1=$\frac{6}{{x}^{2}-x}$．
（2）$\frac{y+1}{{y}^{2}}$-$\frac{2{y}^{2}}{y+1}$=1．

Answer 1

分析 （1）根据方程特点设y=x²-x，则原方程可化为y+1=$\frac{6}{y}$，解方程求得y的值，再代入x²-x=y求出x即可；
（2）根据方程特点设$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=x，则原方程可化为x-$\frac{2}{x}$=1，解方程求得x的值，再代入$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=x求出y即可．

解答 解：（1）设y=x²-x，则原方程可化为y+1=$\frac{6}{y}$，
解得y₁=2，y₂=-3．
当y₁=2时，x²-x=2，解得x₁=2，x₂=-1；
当y₂=-3时，x²-x=-3，x无实数根；
经检验x₁=2，x₂=-1都是原方程的根，
所以原方程的根是x₁=2，x₂=-1；

（2）设$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=x，则原方程可化为x-$\frac{2}{x}$=1，
解得x₁=2，x₂=-1．
当x₁=2时，$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=2，解得y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$；
当x₂=-1时，$\frac{y+1}{{y}^{2}}$=-1，y无实数根；
经检验y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$都是原方程的根，
所以原方程的根是y₁=1，y₂=-$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了换元法解分式方程，用换元法解分式方程是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．