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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为D．M是OB上一动点（不运动到O点、B点），过M点作半圆的切线交直线x=4于N，交AB于F，切点为P．连接DN交AB于精英家教网E，连接DM．
    （1）证明：∠OMD=∠ADN；
    （2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
    （3）当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时，求直线MN的解析式．
    分析：（1）直线y=x+4与x轴、y轴相交于A、B两点可以得出A，B的坐标，A的坐标是（4，0），易证AN为半圆D的切线，根据OM、MN、NA均为半圆D的切线，则∠1=∠2=
    1
    2
    ∠OMN，∠MND=∠AND=
    1
    2
    ∠3，有∠2+∠MND=90°，则∠MDN=90°∠4+∠MD0=90°，而∠1+∠MD0=90°，有∠1=∠4即∠0MD=∠ADN；
    （2）由△DMO∽△NDA根据相似三角形的对应边的比相等，可以得到；
    （3）当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时，应分∠3=∠AED和∠3=∠4两种情况讨论．求出M，N的坐标，就可以根据待定系数法求函数解析式．
    解答：精英家教网解：（1）证明：连接ON．
    ∵直线y=x+4与x轴、y轴相交于A、B两点，
    ∴OA=OB=4，
    又∵直线x=4经过点（4，0）且垂直于x轴，
    即直线AN经过A点，且垂直于OA，
    ∴AN为半圆D的切线，
    ∴AN∥OB，
    ∴∠OMN+∠3=180°，
    又∵OM、MN、NA均为半圆D的切线，
    ∴∠1=∠2=
    1
    2
    ∠OMN，∠MND=∠AND=
    1
    2
    ∠3，
    ∴∠2+∠MND=90°，则∠MDN=90°，
    ∴∠4+∠MD0=90°，而∠1+∠MD0=90°，
    ∴∠1=∠4即∠0MD=∠ADN；

    （2）解：由△DMO∽△NDA可得，
    OD
    ON
    =
    OM
    DA
    ，即
    2
    y
    =
    x
    2
    ，
    ∴y与x的函数解析式为y=
    4
    x
    （0＜x＜4）；

    （3）解：当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时，则有：
    ①若∠3=∠AED，
    在Rt△DNA中∠4+
    1
    2
    ∠3=90°①
    在△AEDK，∠4+∠AED=135°②
    由②-①可得，∠AED=∠3=90°，
    ∴MN平行于是x轴，此时y=x=2，
    ∴直线NM的解析式为y=2；
    ②若∠3=∠4，
    在Rt△DNA中∠4+
    1
    2
    ∠3=90°，即2∠4+∠3=180°，
    ∴∠3=∠4=60°在Rt△DNA中，y=AN=AD•tan60°=2
    		3
    ，
    将y值代入解析式得x=
    2
    		3
    3
    ，
    ∴M点坐标为（0，
    2
    		3
    3
    ），N点坐标为（4，2
    		3
    ），
    由M、N两点的坐标求得直线MN的解析式为y=
    		3
    3
    x+
    2
    		3
    3
    ，
    ∴直线MN的解析式为y=2或y=
    		3
    3
    x+
    2
    		3
    3
    ．
    点评：本题主要考查了切线长定理，以及待定系数法求函数解析式．
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    相等
    ，判断的依据是
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    ；
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    2
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    8
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