Question

【题目】若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】＜m≤1

【解析】

先将二次函数的表达式化为顶点式，确定出图象的顶点，可以直接得到(2，0)、(2，﹣1)、(2，﹣2)三点必在所要求的区域内，然后向外扩充4个整点，找到点(1，0)、 (3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)，然后讨论①当点（1，-1）在边界时，此时求得m=1，确定抛物线与x轴交点的横坐标，从而判断出当m＝1时，恰好有7个整点符合题意，根据抛物线的开口大小与二次项系数的关系确定出0<m≤1；②当点（1，-1）在区域内时，如图2，此时若该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)，显然这两个点符合题意，将(0，0)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2求得m＝，由此可得m＝时，有9个整点符合题意，判断出m＝不符合题意，确定出m＞，综合①②的讨论即可确定出m的取值范围.

∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m(x﹣2)2﹣2且m＞0，

∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，﹣2)，对称轴是直线x＝2，

∴点(2，0)、点(2，﹣1)、顶点(2，﹣2) 三点必在抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域，

又∵该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，

∴必有点(1，0)、 (3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)，

①当点（1，-1）在边界时，

将(1，﹣1)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2，解得m＝1，

此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2，（如图1），

由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得x1＝2﹣≈0.6，x2＝2+≈3.4，

∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意，

则当m＝1时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)、(2，﹣1)、(2，﹣2)这7个整点符合题意，

∴m≤1，

∴0<m≤1，【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】

②当点（1，-1）在区域内时，如图2，此时若该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)，显然这两个点符合题意，

此时x轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意，

将(0，0)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝，

此时抛物线解析式为y＝x2﹣2x，

当x＝1时，得y＝×1﹣2×1＝﹣＜﹣1，

∴点(1，﹣1)符合题意，

当x＝3时，得y＝×9﹣2×3＝﹣＜﹣1．

∴点(3，﹣1)符合题意，

综上可知：当m＝时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)、(2，﹣2)、(2，﹣1)都符合题意，共有9个整点符合题意，

∴m＝不符合题意，

∴m＞，

综合①②可得：当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，

故答案为：＜m≤1．