Question

我们曾经证过《几何》第三册第145页练习第2题，即：
已知：如图1，⊙O₁与⊙O₂相切于点T，直线AB、CD经过点T，交⊙O₁于点A、C，交⊙O₂与点B、D，
求证：AC∥BD；
若将条件中的“⊙O₁与⊙O₂相切”变为“⊙O₁与⊙O₂相交”（如图2所示）其它条件不变，AC∥BD是否还成立，并说明理由．

Answer 1

证明：（1）作两圆的内公切线MN．
则有∠ATM=∠C，∠BTN=∠D．
又∠AMT=∠BTN，
∴∠C=∠D．
∴AC∥BD．

（2）连接EF，则∠CFE=∠B，∠DFE=∠A．
又∠CFE+∠DFE=180°，
∴∠B+∠A=180°．
∴AC∥BD．
分析：（1）根据弦切角定理可以证明一对内错角相等，则得到平行；
（2）连接EF，根据圆内接四边形的对角互补，可以证明一对同旁内角互补，则两直线平行．
点评：在相切两圆中，作两圆的公切线是常见的辅助线之一；
在相交两圆中，连接两圆的公共弦是常见的辅助线之一．