Question

如图，△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，有下列条件：
①∠A=∠BCD；②∠A+∠BCD=∠ADC；③

BD

CD

=

BC

AC

；④BC²=BD•BA．
其中，一定能判断△ABC是直角三角形的共有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

分析：根据题目中①②③④给出的条件分别判定△BCD∽△BAC或△ABC∽△ACD即可求得∠ACB=90°，计算能求证△BCD∽△BAC或△ABC∽△ACD的个数即可解题．

解答：解：①∵∠A=∠BCD，∠A+∠ACD=90°
∴∠BCD+∠ACD=90°，故本命题成立；
②条件不足，无法求证∠ACB=90°，故本命题错误；
③∵BD：CD=BC：AC，∠ADC=∠CDB=90°，
∴Rt△ADC∽Rt△CDB，（因为都有一个直角，斜边直角边成比例）
∴∠ACD=∠B；
∵∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD
∴∠ACB=90°；故本命题正确；
④∵BC²=BD×BA，∴

BC

BD

=

BA

BC

，∵∠B=∠B，∴△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，∵∠A+∠ACD=90°∴∠BCD+∠ACD=90°，故本命题成立，
故正确的有3个．
故选 D．

点评：本题考查了相似三角形的证明，相似三角形对应角相等的性质，本题中找出能求证△ABC是直角三角形的条件是解题的关键．